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Queremos ver si la función $f(x)$ es derivable en $x=0$. Acordate que para que una función sea derivable en un punto, primero tiene que ser continua en ese punto; entonces, arrancamos estudiamos continuidad de $f$ en $x=0$.
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@uriel Hola Uriel! Cuando nos toca derivar el denominador, primero derivamos $3h$, que nos queda $3$, $\sin(h)$ que nos queda $\cos(h)$, y el tema debe venir con lo que sigue no? Ahi hay que hacer la derivada de $h \cdot (3 + \cos(h))$ y tenemos que aplicar regla del producto
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@Mari Hola Mari! Te referis a cuando derivamos esto? -> $h(3h + \sin(h))$
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@Carlos Acá te lo escribí en la tablet a ver si queda más claro :) Esto es re importante, así que avisame porfa si se entiende por qué quedó así
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9.
Mediante los cocientes incrementales correspondientes, decida si las siguientes funciones son derivables en el punto indicado.
c) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{4x-1+\cos(x)}{3x+\sin(x)} & \text{ si } x \neq 0 \\ 1 & \text{ si } x=0\end{array}\right.$ en $x=0$
c) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{4x-1+\cos(x)}{3x+\sin(x)} & \text{ si } x \neq 0 \\ 1 & \text{ si } x=0\end{array}\right.$ en $x=0$
Respuesta
⚠️ Ejercicio típico de parcial ⚠️
Recordemos los tres puntos que tiene que cumplir una función $f$ para ser continua en un $x=x_0$
a) $f(x_0)$ debe estar definida.
b) El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ debe existir y ser un número real.
c) El límite cuando $x$ tiende a $x_0$ debe ser igual a $f(x_0)$.
Veamos si nuestra $f$ cumple estas tres condiciones cuando $x=0$
a) $f(0) = 1$
b) Calculamos el $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) $
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{4x-1+\cos(x)}{3x+\sin(x)} $
Este límite ya lo resolvimos en el Ejercicio 6 d), y ahí vimos que daba $1$
c) $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$
Impecable, se cumplen las tres condiciones, por lo tanto $f$ es continua en $x=0$.
Ahora estudiamos derivabilidad en $x=0$. Como se trata de una función partida, y queremos calcular la derivada justo donde la función se parte, lo hacemos por definición usando el cociente incremental:
$ f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} $
Reemplazamos:
$ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{ \frac{4h-1+\cos(h)}{3h+\sin(h)} - 1 }{h} $
Primero reescribimos esa resta del numerador como una única fracción:
$ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{ \frac{4h - 1 + \cos(h) - 3h - \sin(h)}{3h+\sin(h)} }{h} $
Reacomodamos un poco la situación:
$ \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h + \cos(h) - 1 - \sin(h)}{h(3h + \sin(h))} $
Estamos frente a un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital:
$ \lim_{{h \to 0^+}} \frac{1 - \sin(h) - \cos(h)}{ 3h + \sin(h) + h(3 + \cos(h) ) } $
Sigue el "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más:
$ \lim_{{h \to 0^+}} \frac{-\cos(h) + \sin(h) }{3 + \cos(h) + 3 + \cos(h) - h\sin(h)} $
Y al fin se nos fue la indeterminación. Muchísimo cuidado con todas estas derivadas, hay mucha regla del producto dando vueltas, no te olvides! Tomamos límite y nos queda:
$ \lim_{{h \to 0^+}} \frac{-\cos(h) + \sin(h) }{3 + \cos(h) + 3 + \cos(h) - h\sin(h)} = -\frac{1}{8} $
Entonces,
$ f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = -\frac{1}{8} $
Es decir, $f$ es derivable en $x=0$ y $f'(0) = -\frac{1}{8}$
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Comentarios
uriel
23 de mayo 18:37
hola profe buenas tardes, queria preguntarle, por que cuando aplica l´hopital en el denominador queda asi?
Flor
PROFE
24 de mayo 11:09
Tomamos $h$ como "el primero" y el paréntesis como el "el segundo"
Entonces nos queda
$1 \cdot (3 + \cos(h)) + h \cdot (-\sin(h))$
Reacomodamos:
$3 + \cos(h) - h \sin (h)$
y ahi me queda eso que quedó escrito ahi en el denominador
Se ve mejor?
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Mari
9 de mayo 15:54
Hola profe, tenia una duda de por que cuando aplicaste l'hopital por primera vez, el denominador te quedo asi, es porque aplicaste la regla de la cadena?
Flor
PROFE
10 de mayo 18:09
Ahí aplicamos regla del producto, fijate que tenemos $h$ multiplicando al paréntesis (que también depende de $h$). Entonces tomando $h$ como "el primero" y el paréntesis como "el segundo", la derivada nos queda así:
El primero derivado por el segundo sin derivar + el primero sin derivar por el segundo derivado ->
$3h + \sin(h) + h (3 + \cos(h)) $
Se ve mejor?
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Carlos
22 de junio 16:09
Buenas profe, que paso ahi despues de reescribir la resta, cuando reacomodaste para aplicar L'H
Flor
PROFE
23 de junio 12:11
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